Grup ortogonal

En matemàtiques, el grup ortogonal de dimensió n, denotat O(n), és el grup de transformacions isomètriques (que preserven la distància) d'un espai Euclidià de dimensió n que preserven un punt fix, on l'operació de grup és donada per la composició de transformacions. De forma equivalent, és el grup de matrius ortogonals n×n (és a dir matrius per les quals la seva matriu inversa és igual a la seva transposada), i on l'operació de grup és donada per la multiplicació matricial.

Com que el determinant d'una matriu O(n) ortogonal és 1 o −1, un subgrup important de O(n) és el grup ortogonal especial, denotat SO(n), de les matrius ortogonals amb determinant 1. Aquest grup és també anomenat grup de rotació, perquè en dimensions 2 i 3, els seus elements són les rotacions habituals al voltant d'un punt (dimensió 2) o una línia (dimensió 3). A petites dimensions, com SO(2), SO(3) i SO(4), aquests grups han estat àmpliament estudiats.

En física de partícules, els grups ortonormals tenen un paper important en la categorització de les forces i partícules elementals. El primer grup de Lie simple que conté el Model estàndard és SO(10), sent el grup més senzill que aconsegueix la unificació de totes les partícules de matèria, incloent-hi els neutrins.